Definición de derivada
La derivada es uno de los conceptos fundamentales en el cálculo diferencial. Nos permite calcular la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado. La derivada de una función f(x) se denota como f'(x) o dy/dx.
Concepto de límite
Para entender cómo se calcula la derivada de una función, es necesario comprender el concepto de límite. El límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor c, se define como el valor al que se acerca f(x) a medida que x se acerca a c. Se denota como:
lim(x→c) f(x) = L
Donde L es el límite de f(x) cuando x tiende a c.
Aplicación de la fórmula
La derivada de una función f(x) se calcula utilizando la siguiente fórmula:
f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) – f(x))/h
Esta fórmula nos indica que para calcular la derivada de una función, debemos tomar el límite cuando h tiende a cero de la diferencia entre f(x+h) y f(x), dividido por h.
Importancia en cálculo
La derivada tiene una gran importancia en el cálculo, ya que nos permite analizar el comportamiento de una función en un punto dado. Nos proporciona información sobre la pendiente de la función en ese punto, lo cual es útil para determinar si la función es creciente o decreciente, así como para encontrar los máximos y mínimos de una función.
Además, la derivada también se utiliza en la resolución de problemas de optimización, en la física para calcular velocidades y aceleraciones, y en muchas otras áreas de las matemáticas y las ciencias.
Derivada de 1/x
Para calcular la derivada de la función f(x) = 1/x utilizando la definición de derivada, seguimos los siguientes pasos:
Sustitución de f(x)
En primer lugar, sustituimos f(x) por 1/x en la fórmula de la derivada:
f'(x) = lim(h→0) (1/(x+h) – 1/x)/h
Resta f(x+h) – f(x)
A continuación, realizamos la resta f(x+h) – f(x):
f'(x) = lim(h→0) (1/(x+h) – 1/x)/h = lim(h→0) ((x – (x+h))/(x(x+h)))/h
División entre h
Después, dividimos el resultado obtenido entre h:
f'(x) = lim(h→0) ((x – (x+h))/(x(x+h)))/h = lim(h→0) (x – (x+h))/(hx(x+h))
Cálculo del límite
Finalmente, calculamos el límite cuando h tiende a cero del resultado obtenido:
f'(x) = lim(h→0) (x – (x+h))/(hx(x+h)) = lim(h→0) -h/(hx(x+h)) = lim(h→0) -1/(x(x+h)) = -1/x^2
Por lo tanto, la derivada de la función f(x) = 1/x es f'(x) = -1/x^2.