Derivada de un cociente de funciones: fórmula y ejercicios

La derivada de un cociente de funciones es una herramienta fundamental en el cálculo diferencial. Nos permite encontrar la tasa de cambio instantánea de una función que está dividida por otra función. En este artículo, exploraremos la fórmula para encontrar la derivada de un cociente de funciones y veremos algunos ejemplos de su aplicación.

La fórmula para encontrar la derivada de un cociente de funciones

La fórmula para encontrar la derivada de un cociente de funciones se basa en la regla del cociente. Esta regla establece que la derivada de un cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada del numerador por el denominador

Para encontrar la derivada del numerador por el denominador, simplemente tomamos la derivada de la función del numerador y la multiplicamos por la función del denominador. Esto se puede representar matemáticamente de la siguiente manera:

Derivada del numerador por el denominador: (f'(x) * g(x))

Derivada del denominador por el numerador

De manera similar, para encontrar la derivada del denominador por el numerador, tomamos la derivada de la función del denominador y la multiplicamos por la función del numerador. Esto se puede representar matemáticamente de la siguiente manera:

Derivada del denominador por el numerador: (g'(x) * f(x))

Divididas por el cuadrado del denominador

Finalmente, para obtener la derivada del cociente de funciones, restamos la derivada del numerador por el denominador de la derivada del denominador por el numerador y dividimos todo esto por el cuadrado del denominador. Esto se puede representar matemáticamente de la siguiente manera:

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Derivada del cociente de funciones: [(f'(x) * g(x)) – (g'(x) * f(x))] / [g(x)]^2

Ejemplos de aplicación de la fórmula

Veamos algunos ejemplos para aplicar la fórmula de la derivada de un cociente de funciones.

Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función f(x) = (2x^2 + 3x + 1) / (x + 2)

Primero, encontramos la derivada del numerador por el denominador:

f'(x) = 4x + 3

Luego, encontramos la derivada del denominador por el numerador:

g'(x) = 1

Finalmente, aplicamos la fórmula de la derivada del cociente de funciones:

f'(x) * g(x) – g'(x) * f(x) / [g(x)]^2

= (4x + 3) * (x + 2) – 1 * (2x^2 + 3x + 1) / (x + 2)^2

Simplificando la expresión, obtenemos:

= (4x^2 + 11x + 6 – 2x^2 – 3x – 1) / (x + 2)^2

= (2x^2 + 8x + 5) / (x + 2)^2

Por lo tanto, la derivada de la función f(x) es (2x^2 + 8x + 5) / (x + 2)^2.

Ejemplo 2: Calcular la derivada de la función g(x) = (3x^3 – 2x^2 + 5x) / (2x – 1)

Primero, encontramos la derivada del numerador por el denominador:

g'(x) = 9x^2 – 4x + 5

Luego, encontramos la derivada del denominador por el numerador:

f'(x) = 2

Finalmente, aplicamos la fórmula de la derivada del cociente de funciones:

g'(x) * f(x) – f'(x) * g(x) / [f(x)]^2

= (9x^2 – 4x + 5) * (2x – 1) – 2 * (3x^3 – 2x^2 + 5x) / (2x – 1)^2

Simplificando la expresión, obtenemos:

= (18x^3 – 13x^2 + 14x – 5 – 6x^3 + 4x^2 – 10x) / (2x – 1)^2

= (12x^3 – 9x^2 + 4x – 5) / (2x – 1)^2

Por lo tanto, la derivada de la función g(x) es (12x^3 – 9x^2 + 4x – 5) / (2x – 1)^2.

La fórmula para encontrar la derivada de un cociente de funciones es una herramienta poderosa en el cálculo diferencial. Nos permite calcular la tasa de cambio instantánea de una función dividida por otra función. Al aplicar esta fórmula a diferentes ejemplos, podemos obtener la derivada de un cociente de funciones de manera eficiente y precisa.

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