Definición de distribución normal
La distribución normal, también conocida como distribución de Gauss, es una de las distribuciones de probabilidad más comunes en estadística y probabilidad. Se utiliza para modelar variables continuas que siguen un patrón de comportamiento simétrico y acampanado alrededor de su media.
Una distribución común en estadística y probabilidad
La distribución normal es ampliamente utilizada en diversos campos, como la física, la economía, la biología y la psicología, debido a su capacidad para describir muchos fenómenos naturales y sociales. Es especialmente útil en el análisis de datos y en la inferencia estadística.
Forma acampanada y simetría
Una de las características distintivas de la distribución normal es su forma acampanada, donde la mayoría de los valores se concentran alrededor de la media y disminuyen gradualmente hacia los extremos. Además, la distribución normal es simétrica respecto a su media, lo que significa que la mitad de los valores se encuentran a cada lado de la media.
Función de densidad y parámetros estadísticos
La distribución normal se caracteriza por dos parámetros estadísticos: la media (μ) y la desviación estándar (σ). La media determina el centro de la distribución y la desviación estándar controla la dispersión de los valores alrededor de la media.
Función de densidad y su expresión
La función de densidad de la distribución normal se expresa matemáticamente como:
φμ,σ^2(x) = 1/σ√(2π) e^-(x-μ)^2/2σ^2
Donde φ representa la función de densidad, μ es la media y σ es la desviación estándar. Esta función describe la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor específico.
Cálculo de la distribución normal
Función de distribución y parámetros
La distribución normal se calcula utilizando la función de distribución de la distribución normal, que se define como:
Φμ,σ^2(x) = ∫-∞x φμ,σ^2(u) du = 1/σ√(2π) ∫-∞x e^-(u-μ)^2/2σ^2 du
Donde Φ representa la función de distribución, μ es la media y σ es la desviación estándar. Esta función calcula la probabilidad acumulada de que una variable aleatoria tome un valor menor o igual a un valor dado.
Función de distribución normal estándar
La distribución normal estándar es un caso especial de la distribución normal donde la media (μ) es igual a cero y la desviación estándar (σ) es igual a uno. Su función de distribución se denota como:
Φ(x) = Φ0,1(x) = 1/√(2π) ∫-∞x e^-u^2/2 du
Esta función está tabulada y se utiliza para calcular probabilidades asociadas a la distribución normal estándar.
Inversa de la función de distribución
La inversa de la función de distribución de la distribución normal (también conocida como función cuantil) se utiliza para calcular el valor correspondiente a una probabilidad dada. Para la distribución normal estándar, la inversa se puede expresar como:
Φ^-1(p) = √2 erf^-1(2p-1)
Donde p representa la probabilidad y está en el intervalo (0,1). La función erf^-1 es la inversa de la función error.
Otras características y propiedades
Además de las características mencionadas anteriormente, la distribución normal tiene otras propiedades importantes:
- La distribución normal es simétrica respecto a su media, lo que significa que la moda, mediana y media son iguales.
- La función generatriz de momentos de la distribución normal se utiliza para calcular los momentos de la distribución y se expresa como: M_X(t) = E[e^tX] = e^μt + σ^2t^2/2
- La función característica de la distribución normal se utiliza para calcular las funciones características y se expresa como: χ_X(t; μ, σ) = M_X(it) = e^iμt – σ^2t^2/2
- Las distribuciones normales no se pueden sumar o restar directamente, pero se pueden combinar mediante transformaciones lineales y no lineales.
La distribución normal es una distribución de probabilidad ampliamente utilizada en estadística y probabilidad. Se caracteriza por su forma acampanada y simétrica, y se calcula utilizando la función de distribución y la función de densidad. La distribución normal estándar es un caso especial de la distribución normal y se utiliza como referencia para calcular probabilidades. Además, la distribución normal tiene varias propiedades y características que la hacen útil en el análisis de datos y en la inferencia estadística.