Todos los números reales son racionales: propiedades y definición

Definición de números racionales

Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente de dos enteros, es decir, como una fracción. La palabra «racional» proviene del latín «ratio», que significa «razón» o «cociente».

Expresión como cociente de dos enteros

Para entender mejor esta definición, consideremos un número racional como 3/4. En esta fracción, el numerador es el número entero 3 y el denominador es el número entero 4. La fracción 3/4 representa la división de 3 entre 4, lo cual resulta en 0.75.

Es importante destacar que el denominador de una fracción racional no puede ser cero, ya que la división entre cero no está definida en las matemáticas. Por lo tanto, para que un número sea considerado racional, su denominador debe ser diferente de cero.

Fracciones con números naturales y enteros

Los números racionales no se limitan solo a fracciones con enteros como numerador y denominador. También pueden incluir fracciones con números naturales y enteros. Por ejemplo, la fracción 2/3 es un número racional, donde el numerador es el número natural 2 y el denominador es el número entero 3.

Además, los números enteros también pueden ser considerados como números racionales. Por ejemplo, el número entero 5 puede ser expresado como la fracción 5/1, donde el numerador es el número entero 5 y el denominador es el número entero 1.

Propiedades de los números racionales

Los números racionales tienen varias propiedades que los distinguen y los hacen útiles en las matemáticas. Algunas de estas propiedades son:

Cerrados bajo la suma y la multiplicación

Los números racionales son cerrados bajo la suma y la multiplicación, lo que significa que la suma o multiplicación de dos números racionales siempre resultará en otro número racional. Por ejemplo, si sumamos dos números racionales como 1/2 y 3/4, obtendremos el número racional 5/4. De manera similar, si multiplicamos dos números racionales como 2/3 y 4/5, obtendremos el número racional 8/15.

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Existencia de inverso multiplicativo

Una propiedad importante de los números racionales es que cada número racional tiene un inverso multiplicativo. El inverso multiplicativo de un número racional es aquel número que, al ser multiplicado por el número racional original, resulta en el número 1. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 3/4 es 4/3, ya que (3/4) * (4/3) = 1.

Orden y comparación

Los números racionales también pueden ser ordenados y comparados entre sí. Esto significa que podemos determinar si un número racional es mayor, menor o igual a otro número racional. Por ejemplo, podemos decir que 1/2 es menor que 3/4, ya que 1/2 es la mitad de 3/4.

Denominador distinto de cero

Como se mencionó anteriormente, el denominador de un número racional debe ser diferente de cero. Esto se debe a que la división entre cero no está definida en las matemáticas y conduce a resultados indefinidos o contradictorios. Por lo tanto, es importante recordar que los números racionales solo son válidos cuando su denominador es diferente de cero.

Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente de dos enteros, con el denominador diferente de cero. Estas fracciones pueden incluir números naturales, enteros y fracciones con enteros como numerador y denominador. Los números racionales tienen propiedades como ser cerrados bajo la suma y la multiplicación, tener un inverso multiplicativo, poder ser ordenados y comparados, y requerir que su denominador sea diferente de cero.

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